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              五年级下册及奥数《因数与倍数》应用题小结

              2019-05-19  悟痴

              五年级下册及奥数《因数与倍数》应用题小结

              五年级下册《因数与倍数》和教材《分数的意义》、《分数的加法和减法》章节涉的内容,实际上是数学中的一个重要分支——数论问题。数论问题既浅显又复杂,学习这部分内容需要学习者具有较高的智力活动。这学期奥数教材用了六章的篇幅讲解,可见数论问题涉及的知识的复?#26377;裕?#22885;数教材讲解的内容?#23545;?#22810;于学校课本的内容,例如,教材上只学习“关于253”倍数的特征,而奥数教材学习“关于2542581253971113”的倍数特征,同时研究这些数的整除性。然而,知识点的面广泛只是其中之一,同学们面临的难点还在于用数论知识解答应用题,但教材上涉及的简单应用题是作为选学的内容,我们面对文字应用题,关键是不知道用数论的什么知识解答。下面老师将随着教学的进度,给一一归纳:(按奥数教材顺序)

              一、求因数的个数类应用题

              1、筐内有96个?#36824;?#22914;果不一次拿出,也不一个一个地拿,要求?#30475;文?#20986;的个数同样多,拿完时又正好不多不少,共有多少种拿法?

              分析解答:依题意,?#30475;文?#20986;的?#36824;?#25968;×拿的次数=96,这个等式?#24471;?#20102;什么呢?#20811;得?#20102;?#30475;文?#30340;?#36824;?#25968;和拿的次数是96的因数(或约数),这样一分析,我们就知道解答此题实际上是要求96的因数分个数有多少个。

              96=3×25,因因数个数定理公式知:96的因数个数是:(1+1)×(5+1=12个;

              12个因数包括了196这两个因数,题目要求不能一次拿完,即:1次×96=96个,这?#26234;?#20917;要排除;同时也不能一个一个地拿,即:96次×1=96个也要排除;

              所以共有:122=10(种)拿法。

               

              2、1996年日本算术奥林匹克竞赛)有50张卡片,分别写着15050个数字,正反两面写的数字相同,卡片一面是红,一面是蓝,某班有50名学生,老师把50张卡片中蓝色的一面朝?#20064;?#22312;桌子上,对同学们说:“请你们按学号顺序逐个到前面来翻卡片,规则是:凡是卡片上的数是自己学号的倍数,就把它翻过来,蓝翻红,红翻蓝”,那么当每个同学都翻完后,红色朝上的卡片有几张?

              分析解答:由“凡是卡片上的数是学号的倍数,把它翻过来”知道,卡片翻几次的由卡片上的数的因数个数决定的,卡片上的数的因数个数是几,就翻动几次。那么一张卡片翻动几次红色朝上呢?我们需要找规律,怎样找规律呢?老师讲过——从特殊到一般找规律。我们要一下?#39029;?font face="Times New Roman">50张卡片的规律有困难,我们只研究一张卡片。开始时是“蓝色朝上”——翻动一次,红色朝上;——翻动两次蓝色朝上(还原到原来的状态)——翻动3次又的红色朝上——翻动4次蓝色朝上……;从中找到规律:翻动奇数次的卡片是红色朝上的;翻动偶数次的卡片是蓝色朝上。下面思考,1——5050个数中那些数的因数个数是奇数?我们学习了因数的个数定理:一个完全平方数的因数是奇数个,其它的数的因数是偶数个(包括1和自身因数),这样问题就得到了解决,看1——50中那几个数是完全平方数,显然只有:14916253649。下面的问题就是怎么叙述解答过程,

              关于怎么叙述问题,这是现在五年级学生面临的一个难点,因为此题的解答过程包含证明推理,而命题的证明要到初中二年级才开始学习。为了?#39029;?#24110;助学生建立这方面的能力,什么是推理和证明?推理是反映从已知判断得出新的判断的思维?#38382;健?#19968;般地讲逻辑推理只有两?#20013;问劍?#21363;:假设判断——如果推出 B(大前提),如果有A这个条件(小前提),则必定有B(结论);第二?#20013;问?#23601;是选言判断,或者B成立或者B的否定成立(大前提),如果B的否定不成立,(小前提),则必有B成立(结论)。数学问题解答过程虽然不必规定唯一的叙述?#38382;劍?#20294;应有统一的要求,即叙述?#38382;?#24212;合乎逻辑。五年级学生没有学习命题的证明,只要能?#35805;?#25512;理的过程说清楚就可以了,现在?#24471;?#25512;理的过程是有一定的困难,不要紧,从现在去慢慢练习,也为上中学作准备。下面叙述如下:

              解答示范:每张卡片翻动奇数下红色朝上,根据规则,凡是卡片上的数是学生学号的倍数,就把卡片翻动一次。也就是15050个数它有多少个因数,卡片就翻动它的因数个次数。因为完全平方数的因数个数是奇数,1——50中完全平方数“14916253649”的因数是奇数个,这些卡片被翻动了奇数次,所以,红色卡片朝上的一共有7张,它们分别是:写有数的“14916253649”卡片。

               

              3、100300之间,只有三个因数的数是多少?

              分析及解答?#21644;?#36807;上面一题的解答,我们知道“完全平方数的因数个数是奇数个”,100300之间的数的因数个数只有3个的数一定是完全平方数。但要清楚是不是完全平方数的因数都是3个呢?我们研究一下,42=16是完全平方数,它的因数个数是:42=24,根据学习过的因数个数定理:16的因数个数是:4+1=5个。同学们发现什么规律没有?——只有质数的平方的数的因数是3个,如22325272112132……,我们把问题转化为求“100300之间有那几个数是质数的平方的数”。

              解答:因为只有质数的平方的数的因数是3个,在100300之间只有7个完全平方数:112122,……172,但只有111317是质数。所以只有112=121132=169172=289这三个数的因数是3个。

               

              二、分解质因数类应用题

              1、4个小朋友,他们的年龄恰好一个比一个大1岁,并且他们年龄的乘积是360,那么其中年龄最大的一个是多少岁?

              分析解答——像这种题,有的地方中?#32423;?#20986;过,主要考察学生灵活运用知识的能力。对于小学生此题解答的思考不会出现干扰,但中学生因为方程的知识比较牢固,认为问题中的数量关?#24471;?#26174;,列方程解答一定能够解出来。设4个人的年龄分别是:X, X+1, X+2, X+3列方程是:XX+1)(X+2)(X+3=360, 这个方程是高次方程,一般中学生是解不出来,只有学习了奥数的同学才有办法解答。下面用学习过小学奥数“转化的思想”老师解答一下,再次?#24471;鰨?#23398;习数学要学习数学方法,看看小学奥数学习过的“转化数学思想”的作用。

              XX+1)(X+2)(X+3=360, 高次方程我们通过转化——把它转化学习过的知识处理:初中一元二次方程。

              原方程变形为:(X2+3X)(X2+3X+2)—360=0; 

                           X2+3X +2X2+3X)—360=0

              上面转化为我们学习过的一元二次方程了,这中关键的一步。

              设:(X2+3X=Y, 即:Y2+2Y360=0, 解答Y120(舍去),Y2=18

              因假设知:(X2+3X=18,解这个一元二次方程:X16(舍去),X2=3

              这样4个人年龄中最大的是:X+3=6岁。

               

              方法二,分解质因数方法

              从上面解答过程看,用代数的方法解答过程是复杂的,有时,在解答数学问题中,算术方法更为简便。这在中学处理有些问题中也经常用到。特别是在解答选择和填空题时。

              360=23×32×5

              然后按照题意,把上面分解后的6个数进行组合成为4个数的乘积,即:

              360=3×4×5×6; 显然最大的年龄是6岁。

               

              2,某班王老师带领全班同学去植树,学生恰好平均分成三组,如果老师与同学每人植树一样多,则共植树572棵,那么这个班有学生多少人,每人植树多少棵?

              分析解答——依题意知道 ,植树总数=每人植树棵数×师生总数,

              师生总数=每组学生数×3+1名老师,?#24471;?#24072;生总数除以3,余数是1

              572=2×2×11×13

              依题意,把分解得到是质因数进行组合得:

              572=11×52=11×(51+1

              因此,这个班学生51人,每人植树11棵;

              注意:572=44×13=44×(12+1),这里,全班人数12人,老师1人,每人植树44?#20204;?#20917;不符合题意——一个班学生人数应该不是12人;

               

              三、奇数与偶数类应用题

              自然数按奇偶性分类,分为奇数与偶数,利用奇数和偶数的性质可以解决一些有趣的问题。

              奇数与偶数的性质奥数教材第21页进行了归纳,这些性?#23460;?#29087;记。几点要注意:

              1,偶数个奇数的和是偶数,奇数个奇数的和是奇数;

              2,在运算中,加法与减法运算结果的的奇偶性不变。也就是:偶数个奇数的差是偶数,奇数个奇数的差仍然是奇数;

              3、奇数偶数

               

              例题19只杯子全部口朝上,?#30475;?#32763;动其中的4只杯子,能否经过若干次翻动,使9只杯子开口全部朝下?

              分析解答——由题目知道,?#30475;?#32763;动4只杯子,翻动若干次,那么具体一共翻动的次数的确切数是无法确定的。审题后要知道 ,一个问题只能用奇偶性解决。我们先研究一只杯子,翻动1次口朝下,翻动2次口朝上,翻动3次口朝下……,每只杯子要口朝下必须翻动奇数次,这样问题就找到了解答的方案。

              叙述解答过程:每只杯子只有翻动奇数次口才能朝下,要使9只杯子口全部朝下,翻动的总次数是9个奇数的和。因为奇数个奇数的和是奇数,所以,翻动的总次数是奇数。依题意,?#30475;?#32763;动4只杯子,翻动的总次数是4的倍数,这个总次数是偶数,前后矛盾,即奇数偶数,所以,无论怎么翻动,都不能使9只杯子的口朝下。

               

              例题2(奇偶性中的周期问题)一个会议室有9盏灯,从1——9依次编号,开始时,只有编号是269的灯是亮着的,一个同学按1——9,再按1——9顺序不停地拉动开关,一共拉了300下,这时编号是几的灯是不亮着的。

              分析解答——?#31354;?#28783;拉动开关奇数下改变原来的状态,即暗的变亮,亮的变暗。

              300÷9=33……3,所以,123号灯拉动了34次,拉了偶数下,不改变原来的状态,即原来是亮的仍然亮,原来是暗的仍然暗;456789拉了33下,是奇数下,改变原来的的状态,原来亮的变暗,原来暗的变亮。所以不亮的灯是:1369号。

               

              四,数的倍数(整除)类应用题

              数论问题是数学“王国”中最有趣的数学知识,无论你的学历高低都能够研究这部分的内容,通过对数论的研究,可以训练人的分析问题和逻辑推理能力。要熟练地解答整除问题类应用题,必须对2542581253971113倍数的数的特征(或能够被以上数整除的数的特征)十分清楚,并能?#35805;?#30693;识灵活运用。

              例题1(奥数教材第29页练习3)六一儿童节快到了,四(2)班的同学分成4组做绸花,每个小组做的绸花一样多,马大哈统计了一下说“还是人多力?#30475;螅?#22823;家一共做了246朵绸花”,马大哈统计对了吗?为什么?

              分析解答——四(2)班同学做的花总数=每个组做的花×4,花的总数是4的倍数;下面就看246朵是不是4的倍数,问题就解决了。

              答:马大哈统计错了。因为,花的总数=每个组做的花×4,花的总数是4的倍数;4是倍数的数的特征是末两位数的4的倍数,而246的麦两位数46不能被4整除,246不是4的倍数,所以,马大哈统计错了。

               

              2、有72名学生,共交课间餐费A52.7B元,平均每人交多少元?

              分析解答——把课间餐费化为分,则总钱数A527B(分)一定是总人数72的倍数,又72=8×9,所以,A527B89的倍数。根据8的倍数特征:一个数的后三位组成的数是8的倍数,这个数就是8的倍数。即:27B是的的倍数,只有B=2, 这个数变为了A5272,又这个数是9的倍数,它的各位数字之和是9的倍数,A+5+2+7+2=A+16,所以,A=272名学生的课间餐费总数是:25272分;平均每个同学交:25272÷72=351(分)=3.51(元)

               

              例题3(奥数教材第34页练习4)、新学期开学了,学校为了使同学们有一个更加方便的读书环?#24120;?#26032;买了18个书架,可是会计不小心把发票给弄污了,单价只剩下2个数字“2**0元”, 总价也只剩下2个数字“*4*8*元”你能帮助算出单价和总价吗?

              分析解答——由题意,总价一定是18的倍数,又18=2×9,总价一定能够被29整除,又单价的个位数字是018乘以单价的个位数字一定是0,所以,总价的个位数为0,即:总价是:A4B80元,这个数是29的倍数。又知道单价是2千多元,总价一定:

              18×2000<</SPAN>总价<</SPAN>18×299036000<</SPAN>总价<</SPAN>53820,而总价的千位上的数字是4,所以总价万位的的数字只能是4,所以总价是:44B80, 4+4+B+8+0=16+B要是9的倍数,则B=2, 总价是44280元,单价是:44280÷18=2460(元)

               

              五、最大公因数应用类应用题

              六、最小公倍数应用类应用题

              上面两个方面的应用题,五年级人教版教材 第四章学习,最大公因数、最小公倍数应用题课本上十分简单,只有一步推算,同学们在学习课本时,关键要理解出现的应用题是求最大公因数还是求最小公倍数。为学习奥数做好准备。怎么解答上面(五)(六)应用题,待同学们学习了最大公因数和最小公倍数后老师继续总结归纳。(待续)

            1. 至尊彩票